Diese angemessene, eine Kostenersatzanspruch grundsätzlich auslösende  Wartefrist für ein Abschlussschreiben beträgt in der Regel 2 bis 3 Wochen, je nachdem, ob es sich um eine Urteilsverfügung handelt oder um eine Verfügung, die im Beschlusswege erlassen wurde, vgl. BGH, Urteil vom 22.01.2015, Az. I ZR 59/14, Rz. 23 ff. – Kosten für Abschlussschreiben II:

"bb) Wird eine einstweilige Verfügung durch Urteil erlassen oder nach Widerspruch bestätigt, so ist das kostenauslösende Abschlussschreiben nur erforderlich und entspricht nur dem mutmaßlichen Willen des Schuldners (§ 677 BGB), wenn der Gläubiger dem Schuldner zuvor angemessene Zeit gewährt hat, um die Abschlusserklärung unaufgefordert von sich aus abgeben zu können (KG, WRP 1978, 451; OLG Frankfurt, GRUR-RR 2003, 294; Teplitzky aaO Kap. 43 Rn. 31; Köhler in Köhler/Bornkamm, UWG, 33. Aufl., § 12 Rn. 3.73). Außer dieser Wartefrist ist dem Schuldner eine Erklärungsfrist für die Prüfung zuzubilligen, ob er die Abschlusserklärung abgibt.
Danach muss dem Schuldner insgesamt ein der Berufungsfrist entsprechender Zeitraum zur Verfügung stehen, um zu entscheiden, ob er den Unterlassungsanspruch endgültig anerkennen will (vgl. BGH, Urteil vom 8. Dezember 2005 – IX ZR 188/04, GRUR 2006, 349 Rn. 19 = WRP 2006, 352; KG, WRP 1978, 451; Fezer/Büscher aaO § 12 Rn. 182). Dem stehen keine überwiegenden Gläubigerinteressen entgegen. Der Unterlassungsanspruch des Gläubigers ist durch die einstweilige Verfügung vorläufig gesichert. Die Verjährungsfrist ist gemäß § 204 Abs. 1 Nr. 9 BGB gehemmt. Es besteht daher keine besondere Eile, den Verbotsanspruch im Hauptsacheverfahren weiterzuverfolgen. Auf Seiten des Schuldners ist zu berücksichtigen, dass er sich durch Abgabe der Abschlusserklärung endgültig unterwerfen soll. Unter diesen Umständen ist es geboten, ihm nach Kenntnis der Begründung des die Verfügung bestätigenden Urteils ausreichend Zeit zur erneuten Prüfung des Sachverhalts und zur Einholung anwaltlichen Rats zu gewähren. Es ist daher im Regelfall sachgerecht, den Gläubiger mit der Kostenfolge aus § 93 ZPO zu belasten, wenn dem Schuldner für die Abgabe der Abschlusserklärung insgesamt nur eine kürzere Frist als die Berufungsfrist des § 517 ZPO zur Verfügung stand, der Gläubiger innerhalb dieser Frist Hauptsacheklage erhebt und der Schuldner den Anspruch sofort anerkennt. …

Jedenfalls bei einer durch Urteil ergangenen oder nach Widerspruch bestätigten einstweiligen Verfügung ist es im Regelfall geboten und ausreichend, wenn der Gläubiger eine Wartefrist von zwei Wochen, gegebenenfalls unter Beachtung des § 193 BGB, einhält (vgl. OLG Frankfurt, GRUR-RR 2003, 294; Köhler in Köhler/Bornkamm aaO § 12 Rn. 3.73; MünchKomm.UWG/Schlingloff, 2. Aufl., § 12 Rn. 557). Wie das Berufungsgericht zutreffend erkannt hat, wäre eine längere Wartefrist mit den berechtigten Interessen des Gläubigers nicht vereinbar. Der Gläubiger hat ein nachvollziehbares Interesse, alsbald Klarheit zu erlangen, ob er zur Durchsetzung seiner Ansprüche noch ein Hauptsacheverfahren einleiten muss. Dieses Interesse ergibt sich aufgrund des Schadensersatzrisikos aus § 945 ZPO und des Bedürfnisses, etwaige Folgeansprüche, deren Verjährung nicht durch das Verfügungsverfahren gehemmt ist, zusammen mit dem Unterlassungsanspruch geltend machen zu können.

Keiner Entscheidung bedarf im Streitfall die Frage, ob die Kosten für ein Abschlussschreiben, das nach einer durch Beschluss erlassenen einstweiligen Verfügung abgesandt worden ist, grundsätzlich nur zu erstatten sind, wenn der Gläubiger eine längere Wartefrist als zwei Wochen eingehalten hat. Dafür könnte sprechen, dass dem Schuldner in diesem Fall regelmäßig keine begründete gerichtliche Entscheidung als Beurteilungsgrundlage zur Verfügung steht, und dass der Widerspruch nach §§ 935, 924 Abs. 1 ZPO unbefristet zulässig ist. Auch nach einer Beschlussverfügung wird die angemessene und erforderliche Wartefrist jedoch im Regelfall drei Wochen nicht überschreiten (vgl. BGH, Urteil vom 4. März 2008 – VI ZR 176/07, GRUR-RR 2008, 368 Rn. 12 = WRP 2008, 805)."
Im Abschlussschreiben ist dem Antragsgegner sodann eine weitere, angemessene Prüf- und Erklärungsfrist von im Regelfall mindestens zwei Wochen für die Prüfung einzuräumen, ob er die Abschlusserklärung abgeben will (vgl. Köhler in Köhler/Bornkamm aaO § 12 Rn. 3.71). Andernfalls hat der Anspruchssteller und Kläger bei einem sofortigen Anerkenntnis nach § 93 ZPO die Kosten des (voreilig) eingeleiteten Hauptsachverfahrens zu tragen, vgl. BGH, Urteil vom 22.01.2015, Az. I ZR 59/14, Rz. 23 ff. – Kosten für Abschlussschreiben II. Dies steht aber einem Anspruch auf Erstattung der Kosten des Abschlussschreibens nicht entgegen, vgl. BGH, Urteil vom 22.01.2015, Az. I ZR 59/14, Rz. 23 ff. – Kosten für Abschlussschreiben II:

"Rechtsfolge der zu kurz bemessenen Erklärungsfrist ist, dass die Klägerin, wenn sie die Hauptsacheklage vor Ablauf einer angemessenen Erklärungsfrist erhoben hätte, mit dem Kostennachteil aus § 93 ZPO hätte rechnen müssen. Enthält das Abschlussschreiben eine zu kurze Erklärungsfrist, so setzt es stattdessen eine angemessene Erklärungsfrist in Gang, während deren Lauf der Schuldner durch § 93 ZPO vor einer Kostenbelastung infolge der Erhebung der Hauptsacheklage geschützt ist (KG, WRP 1978, 451; OLG Zweibrücken, GRUR-RR 2002, 344; Ahrens/Ahrens aaO Kap. 48 Rn. 44; Fezer/Büscher aaO § 12 Rn. 179; Götting/Nordemann/Kaiser, UWG, 2. Aufl., § 12 Rn. 321).

Teilt der Antragsgegner dem Antragssteller jedoch vor Ablauf der angemessenen Wartefrist von 2 bzw. 3 Wochen nach Zustellung einer einstweiligen Verfügung mit, "dass es eines Abschlussschreibens nicht bedürfe", ohne sich mit dieser "Abbestellung" bereits verbindlich dazu zu äußern, ob er eine Abschlusserklärung abgegeben wird oder nicht, so hat der Antragssteller keinen Kostenersatzanspruch für ein (dennoch verschicktes) Abschlussschreiben, vgl. OLG München, Urt. v. 13.08.2020, Az. 29 U 1872/20, Rn. 26:

"Die Funktion des Abschlussschreibens, der Aufforderung zur Abgabe einer Abschlusserklärung, liegt darin, dass der Gläubiger Klarheit gewinnt, ob er noch Hauptsacheklage erheben muss, und der Schuldner die Möglichkeit erhält, durch fristgerechte Abgabe der Abschlusserklärung den Rechtsstreit endgültig zu beenden (Köhler/Bornkamm/Feddersen, UWG, 38. Aufl. § 12 Rn. 3.70). Beiden Funktionen konnte das Abschlussschreiben der Klägerin vom 02.07.2018 (Anlage K 8) aufgrund der vorausgehenden Schreiben der Beklagtenvertreter vom 26.06.2018 und 27.06.2018 nicht mehr gerecht werden.

Wird eine einstweilige Verfügung erlassen, so ist das kostenauslösende Abschlussschreiben nur erforderlich und entspricht nur dem mutmaßlichen Willen des Schuldners (§§ 677 BGB), wenn der Gläubiger dem Schuldner zuvor angemessen Zeit gewährt hat, um die Abschlusserklärung unaufgefordert von sich aus abgeben zu können. Außer dieser Wartefrist ist dem Schuldner eine Erklärungsfrist für die Prüfung zuzubilligen, ob er die Abschlusserklärung abgibt (vgl. BGH GRUR 2015, 822 Rn. 17 – Kosten für Abschlussschreiben II; BGH GRUR 2017, 1160 Rn. 57 – Bretaris-Genuair). Danach muss dem Schuldner insgesamt ein der Berufungsfrist entsprechender Zeitraum zur Verfügung stehen, um zu entscheiden, ob er den Unterlassungsanspruch endgültig anerkennen will (BGH GRUR 2015, 822 Rn. 18 – Kosten für Abschlussschreiben II). …

Das Abschlussschreiben vom … konnte somit nicht mehr dazu dienen, der Beklagten die Möglichkeit, den Rechtsstreit durch Abgabe einer fristgerechten Abgabe einer Abschlusserklärung zu beenden, aufzuzeigen, denn dieser Möglichkeit war die Beklagte sich erkennbar bewusst. Das Abschlussschreiben konnte auch nicht dazu mehr dazu dienen, der Klägerin zeitnah Klarheit darüber zu verschaffen, ob sie zur Durchsetzung ihrer Ansprüche noch ein Hauptsacheverfahren einleiten muss. Denn die Monatsfrist entsprechend dem § 517 ZPO, innerhalb derer die Beklagte ohnehin schon zugesagt hatte, sich zur Anerkennung der einstweiligen Verfügung als endgültiger Regelung zu erklären, konnte die Klägerin durch das Abschlussschreiben nicht verkürzen.
Die Kosten für ein funktionsloses und damit überflüssiges Abschlussschreiben, das der Gläubiger dem Schuldner gegen dessen erklärten Willen aufdrängt, kann der Schuldner [richtig wohl: Gläubiger] nicht gemäß §§ 677, 683, 670 BGB ersetzt verlangen."